UNITES

1. unités
2. Les changements d’unité
3. équivalence des unités, équations aux dimensions
4. non-équivalence des unités
5. différentes unités

unités

Pour quantifier une grandeur physique, et les comparer,nous avons besoin d’unités. 7 suffisent. On utilisent souvent les7 suivantes :

Grandeur de base	Symbole de la dimension
LONGUEUR	L
TEMPS	T
MASSE	M
INTENSITé électrique	I
témpérature thermodynamique	<math|f= \Theta >
quantité de matière	N
inténsité lumineuse	J

Ainsi toute unité s’écrit avec ces 7 unités de la façon suivante : NouvelleUnité = <math|f= L^{\alpha} M^{\beta} T^{\gamma} I^{\delta} \Theta^{\epsilon} N^{\zeta} J^{\eta}>. Les exposants sont des réels quelconques mais pratiquement toujours des entiers relatifs.

Les changements d'unité

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1. Utilisation d'un tableau de conversion, par l'exemple

On cherche à convertir 85,3 mm en mètres. On construit le tableau avec les unités recherchées : m mm On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité : m mm 8 5 , 3 On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité : m mm 0 0 0 0 8 5 , 3 0 On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles : m mm 0 , 0 8 5 3 On écrit le résultat : 85,3 mm = 0,0853 m

A retenir ................................. On construit le tableau avec les unités recherchées On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité. On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles On écrit le résultat

2. conversions directes, par l'exemple

1. Les multiplicateurs courants

les multiplicateurs qui augmentent le nombre : Tera : 1 T = 1012 ; Giga : 1 G = 109 ; Mega : 1 M = 106 ; kilo : 1 k = 103 ; les multiplicateurs qui diminuent le nombre : milli : 1 m = 10-3 ; micro : 1 µ = 10-6 ; nano : 1 n = 10-9 Les multiplicateurs moins courants : hecto : 1 h=100; déca : 1da = 10 ; déci : 1 d = 10-1 ; centi : 1 c = 10-2

2. conversion directe très simple, par l'exemple

on veut convertir 3 mètres en millimètres on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre : 1 m = 1000 mm on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: 3 m = 3 × 1 m = 3 × ( 1000mm ) = ( 3 × 1000 ) mm = 3000 mm

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

2. conversion directe simple, par l'exemple

La distance entre deux atomes de fer α est 0,287 nm; convertir en mètres : on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre : 1 nm = 10-9 m on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: 0,287 nm = 0,287 × 1 nm = 0,287 × ( 10-9 m ) = ( 0,287 × 10-9 )m =

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

2. conversion directe composée, par l'exemple

La vitesse de la lumière dans le vide est c = 3 × 108 m/s. On veut la calculer en km/h réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre : 1 m = 10-3 × ( 1 km ) 1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) et 1 min = ( 1 / 60 ) × ( 1 h ) donc 1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) = ( 1 / 60 ) × ( (1 / 60 ) × (1 h) ) = (( 1 / 60 ) × ( 1 / 60 )) × (1 h) = ( 1/3600 ) × (1 h) 1 s = ( 1/3600 ) × (1 h) ( on aurait pu aussi écrire 1h = 3600s donc 1s = 1/3600 x 1h ) on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres: 1 m/s = ( 1 m ) / ( 1 s ) = ( 10-3 × (1 km) ) / ( 1/3600 × (1 h) ) = ( 10-3 ) / ( 1/3600 ) × ( ( 1 km ) / (1 h) ) = ( 10-3 ) × ( 3600 ) × ( 1 km/h ) = ( 10-3 × 3600 ) × ( 1 km/h ) = 3,6 × ( 1 km/h ) = 3,6 km/h 1 m/s = 3,6 km/h on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: c = 3 × 108 m/s = ( 3 × 108 ) × ( 1 m/s ) c = ( 3 × 108 ) × ( 3,6 km/h ) c = ( 3 × 108 × 3,6 ) × ( 1 km/h ) c = ( 10,8 × 108 ) × ( 1 km/h ) c = 10,8 × 108 km/h = 1,08 × 109 km/h ( 1,08 milliard de km/h)

réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

Les tableaux de conversion classiques

les unités simples km hm dam m dm cm mm µm nm les unités composées km2 m2 dm2 cm2 mm2 µm2 km3 m3 dm3 cm3 mm3 µm3

équivalence des unités, équations aux dimensions , analyse dimensionnelle

L’analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que des grandeurs ayant la même dimension

Les deux côtés d’un signe égal dans une formule physique ont la même unité.
On remplace chaque variable par son unité ( équivalence des unités ) ou par une variable entre crochets (équations aux dimensions ) et on cherche l’unité ou le crochet correspondant aux variables non connues.

exemple 1 : <math|f=i=\frac{dq}{dt}> i est en Ampères, q en Coulomb et t en s. Donc <math|f=1\ A =1\ C.s^{-1}$ >

exemple 2 : <math|f=E=\frac{1}{2} m v^2$ > E est en Joules, m en kg et v en <math|f=m.s^{-1}>. Donc <math|f=1\ J =\ 1\ kg.m^{2}.s^{-2}$ > (remarque : le <math|f=\frac{1}{2}> n’a pas d’unité, on n’en tient pas compte.

exemple 3 : Le principe fondamental de la dynamique est <math|f=\vec{f} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}>.
L’équation aux dimensions est : <math|f=[F]= [M][L][T]^{-2}>. donc l’unité SI de la force est le <math|f=kg\;m\;s^{-2}>. (couramment appelée Newton).

exemple 4 : on cherche une relation entre une énergie et une masse volumique, un temps, une distance : <math|f= E = f(\rho,r, t)>
on cherche <math|f=(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 > tels que <math|f= E =\rho ^a r^b t^c > avec <math|f=[E] = ML^{2}T^{-2} > , <math|f=[\rho]=ML^{-3} > ,<math|f=[r]=L > et <math|f=[t]=T >
<math|f=E =\rho ^a r^b t^c \Rightarrow [E] =[\rho]^a \times [r]^b \times [t]^c \Leftrightarrow M^{1}L^{2}T^{-2}= M^{a}L^{-3a+b}T^{c} \Leftrightarrow (a,b,c)=(1,5,-2) \Rightarrow E =\rho r^5 t^{-2} >

non-équivalence des unités

Parfois, pour simplifier l’écriture, on choisit comme unités les constantes des équations de la nature ( <math|f=G$ (constante de la gravitation ),$\hbar$ ( constante de Planck ) , $c$ ( vitesse de la lumière )>. Concrètement, on pose <math|f=G=\hbar=c=1>.

<math|f=r=\frac{GM}{c^2}> s’écrit alors <math|f=r=M$ > ( une longueur est égale à une masse ).

différentes unités

grandeur physique	unités de mesure	unités de mesure alternatives
MATHS
longueur	<math|f=m >	pouces, années-lumières,yards
surface	<math|f=m^{2} >	hectare
volume	<math|f=m^{3} >	litre
angle	radian rad	degré
angle solide	stéradian sr	degré
PHYSIQUE
temps	seconde s	heure,minutes
masse	kilogramme kg	pound
énergie	Joule J	calorie,kWh
puissance	Watt W	chevaux vapeurs
vitesse	<math|f=m.s^{-1}>	<math|f=km.h^{-1}>
vitesse angulaire	<math|f=rad.s^{-1}>	<math|f=deg.s^{-1}>
température	Kelvin K	Celsius, Fahrenheit
ELECTRICITE
intensité	Ampères A
tension	Volts V
champs magnétiques	Tesla T	Gauss
capacité	Farad F
charge	Coulomb C
Résistance	Ohms <math|f=\Omega >
Inductance	Henry H
CHIMIE
quantité de matière	moles mol
volume	Litres L
concentration	<math|f=mol.L^{-1}>
vitesse de réaction	<math|f=mol.L^{-1}.s^{-1}>
ONDES
fréquences	Hertz Hz
longueurs d’onde	mètre m
SON
	décibel dB
LUMIERE
flux lumineux	Lumen lm
intensité lumineuse	Candela Cd
éclairement lumineux	Lux